Question

曲线

y2

9

-

x|x|

4

=1与直线y=x+3的交点个数是

3

．

Answer 1

分析：曲线

y2

9

-

x|x|

4

=1在y轴右边为双曲线，在y轴左边为椭圆，在y轴左边，椭圆上顶点为（0，3）左顶点为（-2，0），在y轴右边，双曲线渐近线为y=±

3

2

x，由此能求出曲线

y2

9

-

x|x|

4

=1与直线y=x+3的交点个数．

解答：解：曲线

y2

9

-

x|x|

4

=1在y轴右边为双曲线，在y轴左边为椭圆，
在y轴左边，上顶点为（0，3）左顶点为（-2，0），
∴直线y=x+3在y轴左边有两个交点
在y轴右边，渐近线为y=±

3

2

x，
∴有一个交点，
所以，曲线

y2

9

-

x|x|

4

=1与直线y=x+3的交点个数是3个．
故答案为：3．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．易错点是不能正确判断曲线的形状．