Question

已知函数在处存在极值。

(1)求实数的值；

(2)函数的图像上存在两点A，B使得是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在轴上，求实数的取值范围；

(3)当时，讨论关于的方程的实根个数。

Answer 1

解：（1）当时，.………………1分

因为函数在处存在极值，所以

解得.………………4分

(2) 由（I）得

根据条件知A,B的横坐标互为相反数，不妨设.

若，则，

由是直角得，，即，

即.此时无解；………………6分

    若，则. 由于AB的中点在轴上，且是直角，所以B点不可能在轴上，即. 同理有，即=0，   .

因为函数在上的值域是，

   所以实数的取值范围是.………………8分

（3）由方程，知，可知0一定是方程的根，…10分

所以仅就时进行研究：方程等价于

构造函数

  对于部分，函数的图像是开口向下的抛物线的一部分，

当时取得最大值，其值域是；

   对于部分，函数，由，

知函数在上单调递增.

所以，①当或时，方程有两个实根；

②当时，方程有三个实根；

          ③当时，方程有四个实根. ……