Question

三角形的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量

m

=（c-a，b-a），

n

=（a+b，c），若

m

∥

n

．
（1）求角B的大小．
（2）求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用两向量平行的性质以及两向量的左边可求得a，b和c的关系式，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B．
（2）根据（1）中B，可知A+C=

2π

3

，进而可把sinC转化成sin（

2π

3

-A），展开后，利用两角和公式化简，利用A的范围来确定sinA+sinC的范围．

解答：解：（1）∵

m

∥

n

．
∴c（c-a）=（a+b）（b-a），
∴c²-ac=b²-a²，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

∴B=

π

3

（2）∵A+B+C=π，∴A+C=

2π

3

∴sinA+sinC=sinA+sin（

2π

3

-A）=sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3

sin（A+

π

6

）
∵0＜A＜

2π

3

∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5

6

π
∴

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，
∴

3

2

＜sinA+sinC≤

3

点评：本题主要考查了余弦定理的应用，两角和公式的化简求值．考查了学生分析问题的能力和基本运算的能力．