Question

已知三角形的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量

m

=(2a-c，b)，

n

=(cosC，cosB)，若

m

∥

n

．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为

3

，求AC边的最小值，并指明此时三角形的形状．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量共线的性质、正弦定理可得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，由sinA＞0，求得cosB=

1

2

，从而求得B的值．
（2）由△ABC的面积为

3

，求得ac=4，再利用余弦定理以及基本不等式求出AC的最小值．

解答：解：（1）

m

=(2a-c，b)，

n

=(cosC，cosB)，∵

m

∥

n

，∴（2a-c）cosB=bcosC．
由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，
即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA＞0，∴cosB=

1

2

．
∵0＜B＜π，∴B=

π

3

． …（6分）
（2）由已知得：S△ABC=

1

2

acsinB=

3

，B=

π

3

，∴ac=4．
由余弦定理，b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，当且仅当“a=c”时取等号．
∴AC的最小值为2，此时三角形为等边三角形．…（12分）

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两个向量共线的性质，两角和差的正弦公式，基本不等式，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．