Question

三角形的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量

m

=(c-a，b-a)，

n

=(a+b，c)，若

m

∥

n

．
（1）求角B的大小；
（2）用A表示sinA+sinC，记作f（A），求函数y=f（A）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）利用两向量平行的性质以及两向量的左边可求得a，b和c的关系式，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B．
（2）根据（1）中B，可知A+C=

2π

3

，进而可把sinC转化成sin（

2π

3

-A），展开后，利用两角和公式化简，利用正弦函数的单调区间得到函数y=f（A）的单调增区间即可．

解答：解：（1）因为向量

m

=(c-a，b-a)，

n

=(a+b，c)，并且

m

∥

n

，
所以c（c-a）=（a+b）（b-a），即c²-ac=b²-a²，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

∴B=

π

3

（2）∵A+B+C=π，∴A+C=

2π

3

∴sinA+sinC=sinA+sin（

2π

3

-A）=sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3

sin（A+

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤A+ 

π

6

≤2kπ+

π

2

可得：2kπ-

2π

3

≤A≤2kπ+

π

3

，
又因为0＜A＜

2π

3

，
所以0＜A≤

π

3

．
所以函数y=f（A）的单调增区间为（0，

π

3

]．

点评：本题主要考查了余弦定理的应用，两角和公式的化简求值与正弦函数的有关性质．考查了学生分析问题的能力和基本运算的能力．