Question

已知正实数a、b满足a+b=1，且

1

a

+

2

b

≥m恒成立，则实数m的最大值是

3+2

2

．

Answer 1

分析：欲求实数m的最大值，根据题意知只须求出且

1

a

+

2

b

的最小值即可．由已知中正实数a，b满足a+b=1，根据基本不等式“1的活用”，我们将分子式中的“1”全部变形成a+b，然后利用分式的性质，化简得到两数为定值的情况，利用基本不等式即可得到答案．

解答：解：∵正实数a，b满足a+b=1，
∴且

1

a

+

2

b

=

a+b

a

+

2(a+b)

b

=3+（

b

a

+

2a

b

）≥3+2

2

故

1

a

+

2

b

的最小值是3+2

2

，

1

a

+

2

b

≥m恒成立，则实数m≤3+2

2

，
m的最大值是3+2

2

故答案为：3+2

2

．

点评：本题考查的知识点是基本不等式在最值问题中的应用，其中对于已知两数之和为定值，求两分式之和的最值时，“1的活用”是最常用的办法．