Question

已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2=4

5

x的焦点，离心率是

6

3

（I）求椭圆E的方程；
（II）过点C（-1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使

MA

•

MB

恒为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）椭圆的焦点在x轴上，且a=

5

，e=

6

3

，故c、b可求，所以椭圆E的方程可以写出来．
（II）假设存在点M符合题意，设AB为y=k（x+1），代入方程E可得关于x的一元二次方程（*）；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），由方程（*）根与系数的关系可得，x₁+x₂，x₁x₂；计算

MA

•

MB

得关于m、k的代数式，要使这个代数式与k无关，可以得到m的值；从而得点M．

解答：解：（I）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a=

5

，c=e•a=

6

3

×

5

=

30

3

，故b=

a2-c2

=

5- 10 3

=

5 3

，
所以，椭圆E的方程为

x2

5

+

y2

5 3

=1，即x²+3y²=5．
（II）假设存在点M符合题意，设AB：y=k（x+1），
代入方程E：x²+3y²=5，得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），则
x₁+x₂=-

6k2

3k2+1

，x₁x₂=

3k2-5

3k2+1

；
∴

MA

•

MB

=（k²+1）x₁x₂+（k²-m）（x₁+x₂）+k²+m²=m²+2m-

1

3

-

6m+14

3(3k2+1)

，
要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=-

7

3

；
所以，存在点M（-

7

3

，0）满足题意．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了椭圆的标准方程及其几何性质，考查了一定的计算能力．