题目内容

6.数列{an}的前n项和是Sn,且2an-Sn=1.
(1)证明{an}是等比数列并求{an}的通项公式;
(2)记bn=2n+1an,cn=log2b1+log2b2+…+log2bn,Tn=$\frac{1}{{c}_{1}}$+$\frac{1}{{c}_{2}}$+…+$\frac{1}{{c}_{n}}$,求使k$\frac{n•{2}^{n}}{n+1}$≥(2n-9)Tn恒成立的实数k的取值范围.

分析 (1)求出数列的通项公式结合等比数列的定义进行证明即可;
(2)求出Tn的表达式,将不等式恒成立进行转化进行求解即可.

解答 证明:(1)由2an-Sn=1得:sn=2an-1,
当n=1时,2a1-a1=1∴a1=1                     …(2分)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1   即:an=2an-1
∴数列{an}是以a1=1为首项,公比为q=2的等比数列;∴an=2n-1…(4分)
解:(2)bn=2n+1an=4n,cn=log2b1+log2b2+…+log2bn=2+4+…+2(n-1)+2n=n(n+1)…(6分)
∴Tn=$\frac{1}{c1}$+$\frac{1}{c2}$+…+$\frac{1}{cn}$=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{n}{n+1}$              …(8分)
由k$\frac{n?2n}{n+1}$≥(2n-9)Tn对任意n∈N+恒成立,得k≥$\frac{2n-9}{2n}$恒成立
设f(n)=$\frac{2n-9}{2n}$,则f(n+1)-f(n)=$\frac{11-2n}{2n+1}$               …(10分)
易得n≥6(n∈N+)时,f(n)递减;1≤n≤5(n∈N+)时,f(n)递增,
又f(5)=$\frac{1}{32}$<f(6)=$\frac{3}{64}$
∴f(n)的最大值是f(6)=$\frac{3}{64}$,
∴k≥$\frac{3}{64}$为所求.…(12分)

点评 本题主要考查等比数列的判断以及数列与不等式的综,考查学生的运算和推理能力.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网