Question

13．已知O为坐标原点，对于函数f（x）=asinx+bcosx，称向量$\overrightarrow{OM}=（a，b）$为函数f（x）的伴随向量，同时称函数f（x）为向量$\overrightarrow{OM}$的伴随函数．
（Ⅰ）设函数$g（x）=-sin（\frac{3π}{2}-x）+\sqrt{3}sin（π+x）$，试求g（x）的伴随向量$\overrightarrow{OM}$；
（Ⅱ）记向量$\overrightarrow{ON}=（1，2）$的伴随函数为f（x），求当$f（x）=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$且$x∈（0，\frac{π}{2}）$时sinx的值；
（Ⅲ）由（Ⅰ）中函数g（x）的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移$\frac{2π}{3}$个单位长度得到h（x）的图象．已知A（-2，3）B（2，6），问在y=h（x）的图象上是否存在一点P，使得$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BP}$．若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简g（x），求出g（x）的伴随向量即可；
（Ⅱ）根据$f（x）=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，结合x的范围，求出sinx的值即可；
（Ⅲ）求出h（x）的解析式，表示出向量$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{BP}$，根据$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=0，求出满足条件的P的坐标即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$g（x）=-sin（\frac{3π}{2}-x）+\sqrt{3}sin（π+x）$，
∴$g（x）=cosx-\sqrt{3}sinx=-\sqrt{3}sinx+cosx$
∴g（x）的伴随向量$\overrightarrow{OM}=（-\sqrt{3}，1）$-----------------------------------------------------------（3分）
（Ⅱ）∵$向量\overrightarrow{ON}=（1，2）$的伴随函数为f（x），且$f（x）=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，
∴$f（x）=sinx+2cosx=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$
又∵$x∈（0，\frac{π}{2}）$且sin²x+cos²x=1，
∴$sinx=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$----------------------------------------------（7分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知：$g（x）=-\sqrt{3}sinx+cosx=-2sin（x-\frac{π}{6}）$（用余弦表示也可以）
将函数g（x）的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，得到函数$y=-2sin（\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}）$
再把整个图象向右平移$\frac{2π}{3}$个单位长得到h（x）的图象，
得到$h（x）=-2sin（\frac{1}{2}（x-\frac{2π}{3}）-\frac{π}{6}）=-2sin（\frac{1}{2}x-\frac{π}{2}）=2cos\frac{1}{2}x$--------------------（8分）
设$P（x，2cos\frac{1}{2}x）$，∵A（-2，3）B（2，6），
∴$\overrightarrow{AP}=（x+2，2cos\frac{1}{2}x-3），\overrightarrow{BP}=（x-2，2cos\frac{1}{2}x-6）$
又∵$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BP}$，∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=0$，
$\begin{array}{l}∴（x+2）（x-2）+（2cos\frac{1}{2}x-3）（2cos\frac{1}{2}x-6）=0\\{x^2}-4+4{cos^2}\frac{1}{2}x-18cos\frac{1}{2}x+18=0\end{array}$，
∴${（2cos\frac{1}{2}x-\frac{9}{2}）^2}=\frac{25}{4}-{x^2}$（*）-----------------------------------------（10分）
$\begin{array}{l}∵-2≤2cos\frac{1}{2}x≤2$，∴$-\frac{13}{2}≤2cos\frac{1}{2}x-\frac{9}{2}≤-\frac{5}{2}\\∴\frac{25}{4}≤{（2cos\frac{1}{2}x-\frac{9}{2}）^2}≤\frac{169}{4}\\ 又∵\frac{25}{4}-{x^2}≤\frac{25}{4}\end{array}$，
∴$当且仅当x=0时，{（2cos\frac{1}{2}x-\frac{9}{2}）^2}和\frac{25}{4}-{x^2}同时等于\frac{25}{4}$，
这时（*）式成立，
∴$在y=h（x）的图象上存在点P（0，2），使得\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BP}$．--------------------（12分）

点评 本题考查了三角函数的图象和性质，考查了三角函数的诱导公式，训练了利用三角函数的单调性求函数的值域，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．