Question

已知平面向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（2sinx，-2cosx），

c

=

a

+m

b

，

d

=cos2x•

a

+sinx•

b

，f（x）=

c

•

d

，x∈R．
（1）当m=2时，求y=f（x）的取值范围；
（2）若f（x）的最大值是7，求实数m的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）由条件利用两个向量的数量积公式求得f（x）═-2（sinx-m）²+1+2m²．令t=sinx，则-1≤t≤1，则f（x）=h（t）=-2（t-m）²+1+2m²．再利用二次函数的性质求得
f（x）=h（t）的范围．
（2）分对称轴t=m在区间的左侧、中间、右侧三种情况，分别根据最大值为7求得m的值，综合可得结论．

解答： 解：（1）由题意知|

a

|=1，|

b

|=2，

a

•

b

=0，f(x)=

c

•

d

=cos2x

a

2+msinx

b

2=cos2x+4msinx=-2sin2x+4msinx+1=-2（sinx-m）²+1+2m²．
令t=sinx，则-1≤t≤1，则f（x）=h（t）=-2（t-m）²+1+2m²．
当m=2时，h（t）=-2（t-2）²+9在[-1，1]上递增，则h（t）∈[h（-1），h（1）]，即h（t）的范围[-9，7]；
（2）①当m＜-1时，h（t）=-2（t-m）²+1+2m²在[-1，1]上单调递减，h（t）_max=h（-1）=-4m-1；-4m-1=7，所以m=-2满足条件；
②当-1≤m≤1时，h（t）=-2（t-m）²+1+2m²在[-1，1]上先增后减，h(t)max=h(m)=2m2+1；2m²+1=7，则m=±

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不满足条件；
③当m＞1时，h（t）=-2（t-m）²+1+2m²在[-1，1]上单调递增，h（t）_max=h（1）=4m-1；4m-1=7，所以m=2满足条件；
综上，m=±2．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、二次函数的性质的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．