题目内容
【题目】已知函数
，对于函数
有下述四个结论：
①函数在其定义域上为增函数；
②对于任意的
，都有
成立；
③有且仅有两个零点；
④若
在点
处的切线也是
的切线，则
必是零点．
其中所有正确的结论序号是（ ）
A.①②③B.①②C.②③④D.②③
【答案】C
【解析】
利用特殊值法可判断①的正误；推导出当
时
，从而可判断②的正误；利用导数研究函数
的单调性，结合零点存在定理可判断③的正误；利用导数的几何意义得出等式，进而可判断④的正误.综合可得出结论.
，
，
所以，函数在其定义域上不是增函数，①错；
∵当时，则，因此
成立，②对；
函数的定义域为
，且
，
所以，函数在区间
和
上均为增函数，
，
，
，即函数在区间上有且仅有
个零点．
，
，
，
所以，函数区间上有且仅有个零点．
因此，函数有且仅有两个零点，③对；
在点
处的切线
的方程
．
又也是
的切线，设其切点为
，则的斜率
，
从而直线的斜率
，
，即切点为
，
又点
在上，
，
即
必是函数的零点，④对．
故选：C.
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