题目内容

已知△ABC的三边长|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，若点A，B的坐标分别为（-1，0），（1，0）．
（Ⅰ）求顶点C的轨迹W的方程；
（Ⅱ）线段CA的延长线交顶点C的轨迹W于点D，当 $数学公式$ 且点C在x轴上方时，求线段CD垂直平分线l的方程．

解：（Ⅰ）因为|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，点A，B的坐标分别为（-1，0），（1，0）
所以|CB|+|CA|=2•|AB|=4，且4＞|AB|，
由椭圆的定义可知点C的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的
椭圆（去掉长轴的端点），
所以 $\text{[math]}$ ．
故顶点C的轨迹W方程为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 $\text{[math]}$ ．因为|AB|=2， $\text{[math]}$ ，
所以|CA|²=|AB|²+|CB|²．则CB⊥AB．
所以直线CD的斜率为 $\text{[math]}$ ．
于是直线CD方程为 $\text{[math]}$ ．
由 $\text{[math]}$ 得7x²+6x-13=0．设C，D两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
线段CD中点E的坐标为 $\text{[math]}$ ，
故CD垂直平分线l的方程为 $\text{[math]}$ ，即为28x+21y+3=0．
分析：（Ⅰ）由|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，可得|CB|+|CA|=2•|AB|=4，故C点轨迹为以A，B两点为焦点的椭圆，故可用定义法求轨迹方程．
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ 可求出C点的坐标，从而可写出直线CA的方程，与椭圆方程联立，求出D点坐标，用中点坐标公式求出CD重点坐标，再求l方程即可．
点评：本题考查定义法求轨迹方程、直线和椭圆相交问题，难度适中，很好的考查了基本运算能力．