Question

（2013•重庆）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A₁B₁和A₂B₂，使|A₁B₁|=|A₂B₂|，其中A₁、B₁和A₂、B₂分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A．(

  2 3

  3

  ，2]
• B．[

  2 3

  3

  ，2)
• C．(

  2 3

  3

  ，+∞)
• D．[

  2 3

  3

  ，+∞)

Answer 1

分析：由双曲线的基本性质可知，直线A₁B₁和A₂B₂，关于x轴对称，并且直线A₁B₁和A₂B₂，与x轴的夹角为30°，双曲线的渐近线与x轴的夹角大于30°，否则不满足题意．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．

解答：解：由双曲线的基本性质对称轴是坐标轴，这时只须考虑双曲线的焦点在x轴的情形．
因为有且只有一对相较于点O、所成的角为60°的直线A₁B₁和A₂B₂，
所以直线A₁B₁和A₂B₂，关于x轴对称，并且直线A₁B₁和A₂B₂，与x轴的夹角为30°，双曲线的渐近线与x轴的夹角大于30°且小于等于60°，否则不满足题意．
可得

b

a

＞tan30°，即

b2

a2

＞

1

3

，

c2-a2

a2

＞

1

3

，所以e＞

2 3

3

．
同样地，当

b

a

≤tan60°，即

b2

a2

≤3，所以e≤2．
所以双曲线的离心率的范围是(

2 3

3

，2]．
故选A．

点评：本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．