Question

已知函数f（x）=x³+3bx²+3cx的两个极值点为x₁，x₂，x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]．证明：0≤f(x1)≤

7

2

，-10≤f(x2)≤-

1

2

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：f（x）得f′（x）=3x²+6bx+3c由题意知方程f′（x）=0有两个根x₁，x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]则由根的分布得有2b-c-1≤0，c≤0，2b+c+1≤0且4b+c+4≥0，可得-2≤c≤0，用消元法消去参数b，利用参数c表示出f（x₁）和f（x₁）的值域，再利用参数c的范围能证明0≤f(x1)≤

7

2

，-10≤f(x2)≤-

1

2

．

解答： 证明：f′（x）=3x²+6bx+3c，
由题意知方程f′（x）=0有两个根x₁，x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]，
则有f′（-1）≥0，f′（0）≤0，f′（1）≤0，f′（2）≥0．
即满足下列条件2b-c-1≤0，c≤0，2b+c+1≤0且4b+c+4≥0
∴有图中四边形ABCD即是满足这些条件的点（b，c）的区域．
∴-2≤c≤0
由题设知f′（x₁）=3x₁²+6bx₁+3c=0，
则bx₁=-

1

2

x₁²-

1

2

c，
∴f（x₁）=-

1

2

x13+

3c

2

x1，
由于x₁∈[-1，0]，c≤0，
∴0≤f（x₁）≤

1

2

-

3c

2

，
∵-2≤c≤0，
∴0≤f（x₁）≤

7

2

．
f′（x₂）=3x₂²+6bx₂+3c=0，
bx₂=-

2

2

x₂²-

2

2

c，
∴f（x₂）=-

1

2

x23+

3c

2

x2，
由于x₂∈[1，2]，c≤0，
∴-4+3c≤f（x₂）≤-

1

2

+

3

2

c．
∵-2≤c≤0，
∴-10≤f(x2)≤-

1

2

．

点评：本题考查不等式的证明，解决此类问题的关键是熟悉导数与实根分布问题的处理方法，有难度．