题目内容
如图，曲线C1是以原点O为中心、F1，F2为焦点的椭圆的一部分，曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的交点，曲线C1的离心率为
，若
，
．（Ⅰ）求曲线C1和C2所在的椭圆和抛物线方程；
（Ⅱ）过F2作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C1、C2依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问
是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】分析：（Ⅰ）因为椭圆的离心率为
，所以
=
，因为
，所以可求出a，再根据
，求出C，就可得到b的值，求出椭圆方程．也就可得F2的坐标，再根据曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线，求出抛物线方程．
（Ⅱ）先设出B，E，C，D四点坐标，以及过F2作的与x轴不垂直的直线方程，分别代入椭圆方程和抛物线方程，求y1+y2，
y1y2，y3+y4，y3y4，再代入
，化简即可．
解答：
解：（Ⅰ）设椭圆方程为
，则2a=
，得a=3
所以椭圆方程为
，抛物线方程为y2=4x．
（Ⅱ）设B（x1，y1），E（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），直线y=k（x-1），代入
得：
，即（8+9k2）y2+16ky-64k2=0
则=-
，y1y2=-
同理，y=k（x-1），代入y2=4x得，ky2-4y-4k=0
则y3+y4=
，y3y4=-4
∴
=
=3
点评：本题考查了椭圆，抛物线方程的求法，以及直线与圆锥曲线位置关系的判断，做题时要细心．
，所以
=
，因为
，所以可求出a，再根据
，求出C，就可得到b的值，求出椭圆方程．也就可得F2的坐标，再根据曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线，求出抛物线方程．（Ⅱ）先设出B，E，C，D四点坐标，以及过F2作的与x轴不垂直的直线方程，分别代入椭圆方程和抛物线方程，求y1+y2，
y1y2，y3+y4，y3y4，再代入
，化简即可．解答：
解：（Ⅰ）设椭圆方程为
，则2a=
，得a=3所以椭圆方程为
，抛物线方程为y2=4x． （Ⅱ）设B（x1，y1），E（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），直线y=k（x-1），代入
得：
，即（8+9k2）y2+16ky-64k2=0则=-
，y1y2=-
同理，y=k（x-1），代入y2=4x得，ky2-4y-4k=0
则y3+y4=
，y3y4=-4∴
=
=3点评：本题考查了椭圆，抛物线方程的求法，以及直线与圆锥曲线位置关系的判断，做题时要细心．
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