Question

（2012•孝感模拟）如图，曲线C₁是以原点O为中心，F₁，F₂为焦点的椭圆的一部分．曲线C₂是以O为顶点，F₂为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C₁和C₂的交点且∠AF₂F₁为钝角，若|AF₁|=

7

2

，|AF₂|=

5

2

．
（I）求曲线C₁和C₂的方程；
（II）设点C是C₂上一点，若|CF₁|=

2

|CF₂|，求△CF₁F₂的面积．

Answer 1

分析：（I）设曲线C₁的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则根据|AF₁|=

7

2

，|AF₂|=

5

2

，可得a=3，设A（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），则（x+c）²+y²=

49

4

，（x-c）²+y²=

25

4

，由此可求曲线C₁和C₂的方程；
（II）过点F₁作直线l垂直于x轴，过点C作直线CC₁⊥l于点C₁，依题意知l为抛物线C2的准线，则|CC₁|=|CF₂|，在△CF₁F₂中，设|CF₂|=r，则|CF₁|=

2

r，|F₁F₂|=2，由余弦定理可得r=2，再利用三角形的面积公式，即可求得结论．

解答：解：（I）设曲线C₁的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则2a=|AF1|+|AF2|=

7

2

+

5

2

=6得a=3
设A（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），则（x+c）²+y²=

49

4

，（x-c）²+y²=

25

4

两式相减可得：xc=

3

2

由抛物线定义可知|AF₂|=x+c=

5

2

∴c=1，x=

3

2

或x=1，c=

3

2

（舍去）
所以曲线C₁的方程为

x2

9

+

y2

8

=1(-3≤x≤

3

2

)，C₂的方程为y²=4x（0≤x≤

3

2

）；
（II）过点F₁作直线l垂直于x轴，过点C作直线CC₁⊥l于点C₁，依题意知l为抛物线C₂的准线，则|CC₁|=|CF₂|
在直角△CC₁F₁中，|CF₁|=

2

|CC₁|，∠C₁CF₁=45°
∵∠CF₁F₂=∠C₁CF₁=45°
在△CF₁F₂中，设|CF₂|=r，则|CF₁|=

2

r，|F₁F₂|=2
由余弦定理可得2²+2r²-2×2×

2

rcos45°=r²，
∴r=2
∴S_△CF1F2=

1

2

×2×2

2

sin45°=2

点评：本题考查了椭圆，抛物线方程的求法，考查三角形面积的计算，求得方程是关键．