Question

2．若数列{a_n}前n项和为S_n，a₁=a₂=2，且满足S_n+S_n+1+S_n+2=3n²+6n+5，则S₄₇等于2209．

Answer 1

分析 由题意易得数列{a_n+a_n+1+a_n+2}是公差为6的等差数列，可得S₄₇=a₁+a₂+（a₃+a₄+a₅）+…+（a₄₅+a₄₆+a₄₇），由等差数列的求和公式计算可得．

解答 解：由S_n+S_n+1+S_n+2=3n²+6n+5可得S_n-1+S_n+S_n+1=3（n-1）²+6（n-1）+5，
两式相减可得a_n+a_n+1+a_n+2=6n+3，
∴数列{a_n+a_n+1+a_n+2}是公差为18的等差数列，
令n=3可得a₃+a₄+a₅=21，
∴S₄₇=a₁+a₂+（a₃+a₄+a₅）+…+（a₄₅+a₄₆+a₄₇）
=4+15×21+$\frac{15×14}{2}$×18=2209，
故答案为：2209．

点评 本题考查等差数列的和求和公式，整体法是解决问题的关键，属中档题．