题目内容

已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）为圆心，以a-c为半径作圆F1，过点B2（0，b）作圆F1的两条切线，设切点为M、N．
（1）若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1（0，-b）时，求此椭圆的离心率；
（2）若直线MN的斜率为-1，且原点到直线MN的距离为4（
2
-1），求此时的椭圆方程；
（3）是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间（-
2
2
，-
3
3
）内取值？若存在，求出椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据圆的切线的性质，结合题意可得B2、M、F1、N四点在以B2F1为直径的圆上，求得过此四点的圆方程是（x+
c
2
）2+（y-
b
2
）2=
1
4
(b2+c2)，而圆F1的方程是（x+c）2+y2=（a-c）2，将圆方程相减得到公共弦MN的方程，将点B1的坐标代入并化简，即可解出此椭圆的离心率；
（2）由题意得b=c，利用点到直线的距离公式求出原点到直线MN的距离，得到关于a、c的等式，联解得出a、b之值，可得此时的椭圆方程；
（3）由（1）的计算可得：假设满足条件的椭圆存在，则-
2
2
＜-
c
b
＜-
3
3
成立，由此利用椭圆的平方关系和离心率公式，将不等式等价变形得到离心率e∈（
1
2
，
3
3
），从而得出满足条件的椭圆离心率的取值范围．
解答：解：（1）∵圆F1以（-c，0）为圆心，以a-c为半径，
∴圆F1的方程是（x+c）2+y2=（a-c）2，
∵B2M、B2N与圆F1切于M、N点，∴B2、M、F1、N四点共圆，且B2F1为直径，
由此可得：过此四点的圆的方程是（x+
c
2
）2+（y-
b
2
）2=
1
4
(b2+c2)，
两圆方程相减，可得两个圆的公共弦MN的方程为cx+by+c2=（a-c）2，
又∵点B1在MN上，∴a2+b2-2ac=0，
由b2=a2-c2，化简得2a2-2ac-c2=0，即e2+2e-2=0，
∴此椭圆的离心率e=
3
-1（负值舍去）．
（2）由（1）知，MN的方程为cx+by+c2=（a-c）2，由已知-
c
b
=-1可得b=c，
∵原点到MN的距离为d=
|c2-(a-c)2|
c2+b2
=
|2ac-a2|
a
=|2c-a|=
2
a，
∴a=4，b2=c2=8，所求椭圆方程是
x2
16
+
y2
8
=1；
（3）由（1）的计算，可得直线MN的斜率为-
c
b
．
假设存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间（-
2
2
，-
3
3
）内取值，
则有-
2
2
＜-
c
b
＜-
3
3
成立，
∴
3
3
＜
c
b
＜
2
2
，得
1
3
＜
c2
b2
＜
1
2
，即
1
3
＜
c2
a2-c2
＜
1
2
，解得3c2＜a2＜4c2，
由此可得e2=
c2
a2
∈（
1
4
，
1
3
），所以椭圆的离心率e∈（
1
2
，
3
3
）．
因此，当离心率取值范围是（
1
2
，
3
3
）时，直线MN的斜率可以在区间（-
2
2
，-
3
3
）内取值．
点评：本题着重考查了直线基本量与基本形式、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，椭圆的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．同时考查了计算能力、逻辑推理能力和转化化归的数学思想，是一道不错的综合题．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦点为F1、F2，双曲线G：x2-y2=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF1、PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形ABF2的周长等于8
2
，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为8
2
．
（1）求椭圆E与双曲线G的方程；
（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1和k2，探求k1和k2的关系；
（3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
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已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的离心率e=
1
2
．直线x=t（t＞0）与曲线 E交于不同的两点M，N，以线段MN 为直径作圆 C，圆心为 C．
 （1）求椭圆E的方程；
 （2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值．
（2012•佛山二模）已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个交点为F1(-
3
，0)，而且过点H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．
已知椭圆E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的离心率e=
3
2
，直线x=2t（t＞0）与椭圆E交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）当圆C与y轴相切的时候，求t的值；
（Ⅲ）若O为坐标原点，求△OMN面积的最大值．

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