题目内容

已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的离心率e=
1
2
．直线x=t（t＞0）与曲线 E交于不同的两点M，N，以线段MN 为直径作圆 C，圆心为 C．
 （1）求椭圆E的方程；
 （2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值．
分析：（1）椭圆方程中给出了短半轴长，结合离心率等于
1
2
即可求出a的值，则椭圆方程可求；
（2）由椭圆的对称性可知圆心在x轴上，把x=t和椭圆方程联立求出圆的半径，然后由弦心距公式求出AB的长，代入面积公式后利用基本不等式求最值．
解答：解：（1）∵椭圆E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的离心率e=
1
2
，
∴
a2-3
a
=
1
2
，解得a=2．
∴椭圆E的方程为
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）依题意，圆心C（t，0）（0＜t＜2）．
由
x=t
x2
4
+
y2
3
=1
，得y2=
12-3t2
4
．
∴圆C的半径为r=
12-3t2
2
．
∵圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且圆心C到y轴的距离d=t，
∴0＜t＜
12-3t2
2
，即0＜t＜
2
21
7
．
∴弦长|AB|=2
r2-d2
=2
12-3t2
4
-t2
=
12-7t2
．
∴△ABC的面积S=
1
2
•t•
12-7t2
=
1
2
7
×(
7
t)•
12-7t2

≤
1
2
7
×
(
7
t)2+12t-7t2
2
=
3
7
7
．
当且仅当
7
t=
12-7t2
，即t=
42
7
时等号成立．
所以△ABC的面积的最大值为
3
7
7
．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦点为F1、F2，双曲线G：x2-y2=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF1、PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形ABF2的周长等于8
2
，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为8
2
．
（1）求椭圆E与双曲线G的方程；
（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1和k2，探求k1和k2的关系；
（3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
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已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）为圆心，以a-c为半径作圆F1，过点B2（0，b）作圆F1的两条切线，设切点为M、N．
（1）若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1（0，-b）时，求此椭圆的离心率；
（2）若直线MN的斜率为-1，且原点到直线MN的距离为4（
2
-1），求此时的椭圆方程；
（3）是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间（-
2
2
，-
3
3
）内取值？若存在，求出椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由．
（2012•佛山二模）已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个交点为F1(-
3
，0)，而且过点H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．
已知椭圆E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的离心率e=
3
2
，直线x=2t（t＞0）与椭圆E交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）当圆C与y轴相切的时候，求t的值；
（Ⅲ）若O为坐标原点，求△OMN面积的最大值．

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