题目内容

如图，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦点为F1、F2，双曲线G：x2-y2=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF1、PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形ABF2的周长等于8
2
，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为8
2
．
（1）求椭圆E与双曲线G的方程；
（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1和k2，探求k1和k2的关系；
（3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
精英家教网
分析：（1）根据三角形ABF2的周长等于8
2
，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为8
2
可求出a，b的值，再利用双曲线G：x2-y2=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点进而可求出m的值．
（2）可利用斜率公式k=
y2-y1
x2-x1
表示出k1，k2再探求k1和k2的关系，关系无非就是和，差，积，商．
（3）牵涉到|AB|，|CD|，|AB|，|CD|需用到弦长公式，因而需要联立方程，故需要把直线AB的方程设出来联立方程代入计算即可．
解答：解：（1）由题意知，椭圆中4a=8
2
，a=2
2
，2ab=8
2
，b=2
所以椭圆的标准方程为
x2
8
+
y2
4
=1
又顶点与焦点重合，所以m=c2=a2-b2=4；
所以该双曲线的标准方程为
x2
4
-
y2
4
=1．
（2）设点P（x，y），x≠±2k1=
y
x+2
，k2=
y
x-2
k1•k2=
y2
x2-4

P在双曲线上，所以
x2
4
-
y2
4
=1y2=x2-4所以k1•k2=1
（3）设直线AB：y=k1（x+2）k1≠0
由方程组
y=k1(x+2)
x2
8
+
y2
4
=1
得（2k12+1）x2+8k12x+8k12-8=0
设A（x1，y1），B（x2，y2）
所以x1+x2=
-8k12
2k12+1
，x1x2=
8k12-8
2k12+1

由弦长公式|AB|=
1+k12
(x1+x2)2-4x1x2
=
4
2
(1+k12)
2k12+1

同理|CD|=
1+k22
(x1+x2)2-4x1x2
=
4
2
(1+k22)
2k22+1

由k1•k2=1，k2=
1
k1
代入得|CD|=
4
2
(1+k12)
k12+2
|AB|+|CD|=λ|AB|CD|，λ=
1
|AB|
+
1
|CD|
=
3
2
8

所以存在λ=
3
2
8
使得|AB|+|CD|=λ|AB|CD|成立．
点评：此题第一问较简单属基础，第二问较复杂，一般情况下的关系无非就是和，差，积，商，关键是P在双曲线上，所以
x2
4
-
y2
4
=1y2=x2-4然后代入计算．第三问是平常较常见的类型，主要是计算繁琐，只要计算不出错都可以达到目的．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，E的左顶点为A、上顶点为B，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为4+2
3
．
精英家教网
（I）求椭圆的方程；
（II）设C，D是椭圆E上两不同点，CD∥AB，直线CD与x轴、y轴分别交于M，N两点，且
MC
=λ
CN
，
MD
=μ
DN
，求λ+μ的取值范围．
（2013•宁波二模）如图，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的离心率是
2
2
，P1、P2是椭圆E的长轴的两个端点（P2位于P1右侧），点F是椭圆E的右焦点．点Q是x轴上位于P2右侧的一点，且满足
1
|P1Q|
+
1
|P2Q|
=
2
|FQ|
=2．
（Ⅰ） 求椭圆E的方程以及点Q的坐标；
（Ⅱ） 过点Q的动直线l交椭圆E于A、B两点，连结AF并延长交椭圆于点C，连结BF并延长交椭圆于点D．
①求证：B、C关于x轴对称；
②当四边形ABCD的面积取得最大值时，求直线l的方程．

如图，已知椭圆E的中心是原点O，其右焦点为F(2，0)，过x轴上一点A(3,0)作直线与椭圆E相交于P,Q两点,且的最大值为.

(Ⅰ)求椭圆E的方程;

(Ⅱ)设,过点P且平行于y轴的直线与椭圆E相交于另一点M,试问M,F,Q是否共线，若共线请证明；反之说明理由.

 

如图，已知椭圆E经过点A（2,3），对称轴为坐标轴，焦点、在x轴上，离心率

（1）求椭圆E的方程；

（2）求的角平分线所在直线的方程.

 
如图，已知椭圆E：的离心率是，P1、P2是椭圆E的长轴的两个端点（P2位于P1右侧），点F是椭圆E的右焦点．点Q是x轴上位于P2右侧的一点，且满足．
（Ⅰ） 求椭圆E的方程以及点Q的坐标；
（Ⅱ） 过点Q的动直线l交椭圆E于A、B两点，连结AF并延长交椭圆于点C，连结BF并延长交椭圆于点D．
①求证：B、C关于x轴对称；
②当四边形ABCD的面积取得最大值时，求直线l的方程．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网