Question

正项数列{a_n}满足a_n²-（2n-1）a_n-2n=0．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=

1

(n+2)an

，设数列{b_n}的前n项和T_n，求T_n+

1

4

[

1

n+1

+

1

n+2

]．

Answer 1

考点：数列的求和,函数的零点

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得（a_n-2n）（a_n+1）=0，由此能求出a_n=2n．
（2）b_n=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，由此利用裂项求和法能求出T_n+

1

4

（

1

n+1

+

1

n+2

）．

解答： 解：（1）∵正项数列{a_n}满足a_n²-（2n-1）a_n-2n=0，
∴（a_n-2n）（a_n+1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n=2n．
（2）∵a_n=n，b_n=

1

(n+2)an

，
∴b_n=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)
∴T_n=

1

2

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

1

2

(1-

1

n+1

)
=

n

2(n+1)

，
∴T_n+

1

4

（

1

n+1

+

1

n+2

）
=

n

2(n+1)

+

1

4

(

1

n+1

+

1

n+2

)
=

1

2

+

1

4

(

1

n+2

-

1

n+1

)．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．