Question

（2013•丽水一模）已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点P（2，3），且它的离心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）与圆（x+1）²+y²=1相切的直线l：y=kx+t交椭圆于M，N两点，若椭圆上一点C满足

OM

+

ON

=λ

OC

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由已知得

4 a2 + 9 b2 =1 c a = 1 2 c2=a2-b2

，解出即可求得a，b；
（Ⅱ）由直线l：y=kx+t与圆（x+1）²+y²=1相切，可得k，t的关系式①，把y=kx+t代入

x2

16

+

y2

12

=1消掉y得x的二次方程，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

OM

+

ON

=λ

OC

得λ

OC

=(x1+x2，y1+y2)，代入韦达定理可求得C点坐标，把点C代入椭圆方程可用k，t表示出λ，再由①式消掉k得关于t的函数，由t²范围可求得λ²的范围，进而求得λ的范围；

解答：解：（Ⅰ） 设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由已知得：

4 a2 + 9 b2 =1 c a = 1 2 c2=a2-b2

，解得 

a=4 b=2 3 c=2

，
所以椭圆的标准方程为：

x2

16

+

y2

12

=1；

（Ⅱ） 因为直线l：y=kx+t与圆（x+1）²+y²=1相切，
所以

|t-k|

1+k2

=1⇒2k=

t2-1

t

(t≠0)，
把y=kx+t代入

x2

16

+

y2

12

=1并整理得：（3+4k²）x²+8ktx+（4t²-48）=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则有x1+x2=-

8kt

3+4k2

，y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=

6t

3+4k2

，
因为λ

OC

=(x1+x2，y1+y2)，
所以C(

-8kt

(3+4k2)λ

，

6t

(3+4k2)λ

)，
又因为点C在椭圆上，
所以

4k2t2

(3+4k2)2λ2

+

3t2

(3+4k2)2λ2

=1⇒λ2=

t2

3+4k2

=

1

( 1 t2 )2+( 1 t2 )+1

，
因为t²＞0，所以 (

1

t2

)2+(

1

t2

)+1＞1，
所以0＜λ²＜1，
所以λ的取值范围为（-1，0）∪（0，1）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查平面向量的运算、直线与圆相切及韦达定理，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，对能力要求高．