Question

（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.
在平面直角坐标系中，对于直线：和点记若<0，则称点被直线分隔.若曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C的一条分隔线.
⑴求证：点被直线分隔；
⑵若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；
⑶动点M到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线.

Answer 1

(1)证明见解析；（2）；（3）证明见解析.

试题分析：本题属于新定义问题，（1）我们只要利用题设定义求出的值，若，则结论就可得证；（2）直线是曲线的分隔线，首先直线与曲线无交点，即直线方程与曲线方程联立方程组，方程组应无实解，方程组变形为，此方程就无实解，注意分类讨论，按二次项系数为0和不为0分类，然后在曲线上找到两点位于直线的两侧．则可得到所求范围；（3）首先求出轨迹的方程，化简为，过原点的直线中，当斜率存在时设其方程为，然后解方程组，变形为，这个方程有无实数解，直接判断不方便，可转化为判断函数与的图象有无交点，而这可利用函数图象直接判断．是开口方向向上的二次函数，是幂函数，其图象一定有交点，因此直线不是的分隔线，过原点的直线还有一条就是，它显然与曲线无交点，又曲线上两点一定在直线两侧，故它是分隔线，结论得证．
试题解析：（1）由题得，，∴被直线分隔.
（2）由题得，直线与曲线无交点
即无解
∴或，∴.
又对任意的，点和在曲线上，满足，被直线分隔，所以所求的范围是．
（3）由题得，设，∴，
化简得，点的轨迹方程为
①当过原点的直线斜率存在时，设方程为.
联立方程，.
令，因为，
所以方程有实解，直线与曲线有交点．直线不是曲线的分隔线．
②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为.
显然与曲线没有交点，又曲线上的两点对于直线满足，即点被直线分隔．所以直线是分隔线．
综上所述，仅存在一条直线是的分割线.
【考点】新定义，直线与曲线的公共点问题.