Question

【题目】已知函数.

（1）若函数 在 处的切线方程为，求实数的值；

（2）设，当时，求的最小值；

（3）求证：.

Answer 1

【答案】(1) 实数的值为；(2) 当时，的最小值为当时， 的最小值为当时， 的最小值为；(3)证明如下.

【解析】

(1)求出切点纵坐标即可求解；

(2)先求函数的单调性，再讨论所给的动区间的位置即可得出；

(3)对所要证明的不等式两边取对数，构造函数转化为恒成立问题即可证明.

(1) 由题意可知，.

(2) 令，得；

令，得，

当时，在上单调递增，

所以的最小值为

当时，在上单调递减，

所以的最小值为

当时，在上单调递减，在上单调递增，

所以的最小值为.

综上所述，当时，的最小值为

当时， 的最小值为

当时， 的最小值为.

(3)要证，即证，

只需证，即证对任意的恒成立.

令则，当时，恒成立，

故在上单调递增，在上的最大值为，

即对任意的恒成立，得证.