Question

【题目】设数列的前项和为，且.

（1）求证：数列为等比数列；

（2）设数列的前项和为，求证： 为定值；

（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）不存在

【解析】试题分析：（1）依据题设探求出，再运用等比数列的定义进行推证；（2）借助等比数列的前项和公式分别求出， ，然后再求其比值；（3）假设存在满足题设条件的三项，然后运用假设进行分析推证，找出矛盾，从而断定不存在假设的三项：

解：（1）当时， ，解得.

当时， ，即.

因为，所以，从而数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.

（2）因为，所以，

故数列是以4为首项，4为公比的等比数列，

从而， ，

所以.

（3）假设中存在第项成等差数列，

则，即.

因为，且，所以.

因为，

所以，故矛盾，

所以数列中不存在三项成等差数列.