Question

【题目】已知函数，在其定义域内有两个不同的极值点.

（1）求的取值范围；

（2）记两个极值点为，且，证明：.

Answer 1

【答案】(1) (2)证明见解析

【解析】

(1)由导数与极值的关系知题目可转化为方程在有两个不同根，转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，从而讨论求解；

(2) 问题等价于，令，则，所以，设，，根据函数的单调性即可证明结论.

解：（1）由题意知，函数的定义域为，

方程在有两个不同根；

即方程在有两个不同根；

转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，如图．

可见，若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，只须．

令切点，

故，又

故，解得，，

故，故的取值范围为

(2)由(1)可知分别是方程的两个根，

即， ，作差得，即

对于，取对数得，即

又因为，所以，得

令，则，，即

设， ，，所以函数在上单调递增，

所以，

即不等式成立，

故所证不等式成立．