Question

【题目】已知函数，，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：函数在定义域上只有一个零点

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）首先求出函数的导函数，令得或，再对分类讨论可得；

（2）由（1）函数的单调性结合零点存在性定理，分类讨论计算可得；

解：（1），，

令得或，易知，当时，；当时，，

①当时，，故在单调递减；

②当时，令得或，令得，

故在，单调递减，在单调递增；

③当时，令得或，令得，

故在，单调递减，在单调递增.

综上，当时，在单调递减；

当时，在，单调递减，在单调递增；

当时，在，单调递减，在单调递增.

（2）由（1）知，①当时，在单调递减；

且，

，即，故函数在上只有一个零点.

②当时，在，单调递减，在单调递增；故的极小值为，因此在上无零点；的极大值为，又，，故在上有一个零点，因此，函数在上只有一个零点.

③当时，在，单调递减，在单调递增.故的极小值为，又，，故在上有一个零点，的极大值为，又，故在上无零点，因此，函数在上只有一个零点.

综上，函数在上只有一个零点.