Question

7．y=x²+$\frac{1}{x^2+2}$+1的值域为[$\frac{3}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 可令x²+2=t，t≥2，从而得到y=$t+\frac{1}{t}-1$，对所得函数求导数，根据导数符号判断它在[2，+∞）单调递增，从而根据单调性求出原函数的值域．

解答 解：令x²+2=t，t≥2，则：
$y=t+\frac{1}{t}-1$，$y′=1-\frac{1}{{t}^{2}}=\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}}$；
∵t≥2，∴t²-1＞0；
∴y′＞0；
∴函数y=$t+\frac{1}{t}-2$在t≥2上单调递增，设y=f（t），则：
f（t）≥f（2）=$\frac{3}{2}$；
∴原函数的值域为[$\frac{3}{2}$，+∞）．
故答案为：[$\frac{3}{2}，+∞$）．

点评 考查函数值域的概念及求法，换元法的运用，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及根据函数的单调性求函数的值域．