Question

已知球O的表面积为12π．
（1）求球O的半径；
（2）已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点都在球O的球面上，求这个球的体积与正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积之比．

Answer 1

分析：（1）先利用球的表面积计算公式，求得球的半径即可；
（2）先求正方体的棱长为a和球的半径为R之间的数量关系，利用体积公式可求出体积之比．

解答：解：（1）设球的半径为R，依题意：
球的表面积s=4πR²=12π，解得R=

3

故球O的半径为

3

；
（2）设正方体的棱长为a，球的半径为R（其中R=

3

）
则

3

a=2R，∴R=

3

2

a，
∴正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积与球O的体积之比为

a3

4 3 π R3

=

a3

4 3 π 3 3 8 a3

=

2

3 π

，
即这个球的体积与正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积之比为

3

π：2．

点评：本题考查了球的表面积计算公式，考查了正方体和球的体积，也考查了空间想象力，要清楚正方体的体对角线就是圆的直径．