Question

已知球O的表面积为8π，A，B，C是球面上的三点，点M是AB的中点，AB=2，BC=1，∠ABC=

π

3

，则二面角M=OC-B的大小为

arctan

6

．

Answer 1

分析：首先判断得出△ACB为RT△，从而 OM⊥面QMC，过B作BE⊥MC，再过B作BF⊥OC，连接EF，则∠BFE为面角M-OC-B的平面角．

解答：解：在三角形ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=

π

3

，由余弦定理，得出AC²=AB²+CB²-2AB•CBcos∠ABC=1+4-2×1×2×

1

2

=3，AC=

3

，AC²+CB²=AB²
∴△ACB为RT△，
∵点M是AB的中点，所以M为△ABC的外心，即为过点A，B，C的截面圆圆心，
由球的截面圆性质可得OM⊥面ABC，过B作BE⊥MC，则OM⊥BE，得出BE⊥面OMC，
∴BE⊥OC，
再过B作BF⊥OC，连接EF，则OC⊥面BFE．
∠BFE为面角M-OC-B的平面角．
易知△BMC为正三角形，BE=

3

2

，
S_△OBC=

1

2

BC×h=

1

2

OC×BF而h=

OB2-( BC 2 )2

=

2- 1 4

=

7

2

．
∴BF=

1×  7 2

2

=

14

4

．
由勾股定理EF²=BF²-BE²=

2

4

∴tan∠BFE=

BE

EF

=

3 2

2 4

=

6

．∠BFE=arctan

6

故答案为：arctan

6

点评：本题考查二面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．