Question

已知球O的表面积为8π，A，B，C是球面上的三点，点M是AB的中点，AB=2，BC=1，∠ABC=，则二面角M=OC-B的大小为    ．

Answer 1

【答案】分析：首先判断得出△ACB为RT△，从而 OM⊥面QMC，过B作BE⊥MC，再过B作BF⊥OC，连接EF，则∠BFE为面角M-OC-B的平面角．
解答：解：在三角形ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=，由余弦定理，得出AC²=AB²+CB²-2AB•CBcos∠ABC=1+4-2×1×2×=3，AC=，AC²+CB²=AB²
∴△ACB为RT△，
∵点M是AB的中点，所以M为△ABC的外心，即为过点A，B，C的截面圆圆心，
由球的截面圆性质可得OM⊥面ABC，过B作BE⊥MC，则OM⊥BE，得出BE⊥面OMC，
∴BE⊥OC，
再过B作BF⊥OC，连接EF，则OC⊥面BFE．
∠BFE为面角M-OC-B的平面角．
易知△BMC为正三角形，BE=，
S_△OBC==而h===．
∴BF==．
由勾股定理EF²=BF²-BE²=
∴tan∠BFE==．∠BFE=arctan
故答案为：arctan
点评：本题考查二面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．