Question

如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中．AB=AA₁，D是BC上的一点，且AD⊥C₁D，
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）在棱CC₁上是否存在一点P，使直线PB₁⊥平面AC₁D？若存在，找出这个点，并加以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接A₁C交AC₁于E点，利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可得出；
（II）在棱CC₁上存在一点P，P为CC₁的中点，使直线PB₁⊥平面AC₁D．利用正三棱柱的性质和正三角形的性质可得AD⊥B₁P．
在正方形BCC₁B₁中，可得△CC₁D≌△C₁B₁P，即可证明B₁P⊥C₁D．再利用线面垂直的判定定理即可证明．

解答：证明：（Ⅰ）连接A₁C交AC₁于E点，则AE=EC₁．
∵CC₁⊥AD，且AD⊥C₁D，CC₁∩C₁D=C₁，
∴AD⊥侧面BCC₁B₁，∴AD⊥BC．
∵△ABC是正三角形，∴D是BC的中点．
∴ED∥A₁B．
∵A₁B?平面AC₁D，ED?AC₁D．
∴A₁B∥平面AC₁D．
（Ⅱ）在棱CC₁上存在一点P，P为CC₁的中点，使直线PB₁⊥平面AC₁D．下面给出证明：
由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁．可得CC₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥AD．
又AD⊥C₁D，∴AD⊥BC．
∵C₁D∩CC₁=C₁，∴AD⊥平面BCC₁B₁，∴AD⊥B₁P．
∵△ABC是正三角形，∴D为边BC的中点．
在正方形BCC₁B₁中，可得△CC₁D≌△C₁B₁P，
∴∠CC₁D=∠C₁B₁P．∴∠CC1D+∠C1PB1=90°，∴B₁P⊥C₁D．
∵AD∩DC₁=D，∴B₁P⊥平面AC₁D．

点评：熟练掌握线面平行于垂直的判定定理于性质定理、三角形的中位线定理、正三棱柱的性质、正三角形的性质、正方形的性质、三角形全等的性质等是解题的关键．