题目内容
（2012•日照一模）如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都是2，D是侧棱CC1上任意一点，E是A1B1的中点．（I）求证：A1B1∥平面ABD；
（II）求证：AB⊥CE；
（III）求三棱锥C-ABE的体积．
分析：（I）根据三棱柱的侧面ABB1A1是平行四边形，得A1B1∥AB，再结合线面平行的判定定理，可得A1B1∥平面ABD；
（II）取AB中点F，连接EF、CF．根据线面垂直的性质证出EF⊥AB，结合正△ABC中，中线CF⊥AB，所以AB⊥平面CEF，从而可得AB⊥CE；
（III）由三棱锥E-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1同底等高，得三棱锥E-ABC的体积等于正三棱柱ABC-A1B1C1体积的
，求出正三棱柱ABC-A1B1C1体积，从而得出三棱锥E-ABC的体积，即得三棱锥C-ABE的体积．
（II）取AB中点F，连接EF、CF．根据线面垂直的性质证出EF⊥AB，结合正△ABC中，中线CF⊥AB，所以AB⊥平面CEF，从而可得AB⊥CE；
（III）由三棱锥E-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1同底等高，得三棱锥E-ABC的体积等于正三棱柱ABC-A1B1C1体积的
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解答：
解：（I）∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1是平行四边形
∴A1B1∥AB
又∵A1B1?平面ABD，AB⊆平面ABD，
∴A1B1∥平面ABD；
（II）取AB中点F，连接EF、CF
∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，
∴侧面AA1B1B是矩形
∵E、F分别是A1B1、AB的中点，∴EF∥AA1，
∵AA1⊥平面ABC，AB⊆平面ABC，∴AA1⊥AB，可得EF⊥AB，
∵正△ABC中，CF是中线，∴CF⊥AB
∵EF∩CF=F，∴AB⊥平面CEF
∵CE⊆平面CEF，∴AB⊥CE；
（III）∵正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长都为2
∴三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=
×22×2=2
又∵三棱锥E-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1同底等高
∴三棱锥E-ABC的体积VE-ABC=
VABC-A1B1C1=
因此三棱锥C-ABE的体积VC-ABE=VE-ABC=
．
解：（I）∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1是平行四边形∴A1B1∥AB
又∵A1B1?平面ABD，AB⊆平面ABD，
∴A1B1∥平面ABD；
（II）取AB中点F，连接EF、CF
∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，
∴侧面AA1B1B是矩形
∵E、F分别是A1B1、AB的中点，∴EF∥AA1，
∵AA1⊥平面ABC，AB⊆平面ABC，∴AA1⊥AB，可得EF⊥AB，
∵正△ABC中，CF是中线，∴CF⊥AB
∵EF∩CF=F，∴AB⊥平面CEF
∵CE⊆平面CEF，∴AB⊥CE；
（III）∵正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长都为2
∴三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=
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又∵三棱锥E-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1同底等高
∴三棱锥E-ABC的体积VE-ABC=
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因此三棱锥C-ABE的体积VC-ABE=VE-ABC=
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点评：本题给出所有棱长都相等的正三棱柱，求证线面平行并求三棱锥的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、线面平行的判定和柱体锥体的体积公式等知识，属于中档题．
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