Question

过双曲线

x2

4

-

y2

4

=1的右焦点F作直线l与双曲线交于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有

2

条．

Answer 1

分析：分为以下3种情况讨论：①假设l⊥x轴；②假设直线l的斜率k=0，即取x轴时，直线l与双曲线的两个交点分别为左右顶点；③假设直线l的斜率存在且不为0时，由双曲线的性质可得．

解答：解：如图所示，
由双曲线

x2

4

-

y2

4

=1得a²=b²=4，∴c=

2

a=2

2

．可得：顶点（±2，0），右焦点F(2

2

，0)．
①假设l⊥x轴，把x=2

2

代入双曲线方程得

(2 2 )2

4

-

y2

4

=1，解得y=±2，此时|AB|=4满足条件，因此直线x=2

2

满足题意；
②假设直线l的斜率k=0，即取x轴时，直线l与双曲线的两个交点分别为左右顶点，此时满足|AB|=4．
③假设直线l的斜率存在且不为0时，由双曲线的性质可得：若直线l与双曲线的右支相交于两点，则两个交点的距离|AB|＞直线l经过右焦点且与x轴垂直时的两个交点的距离4；
若直线l与双曲线的左右支相交于两点，则两个交点的距离|AB|＞两个顶点的距离4．
综上可知：满足条件的直线有且只有2条．
故答案为2．

点评：本题考查了直线与双曲线相交的弦长问题、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．