Question

已知双曲线

x2

4

-y²=1的虚轴的上端点为B，过点B引直线l与双曲线的左支有两个不同的公共点，则直线l的斜率的取值范围是

（

1

2

，

2

2

）

．

Answer 1

分析：双曲线

x2

4

-y²=1的虚轴的上端点为B（0，1），由过点B引直线l与双曲线的左支有两个不同的公共点，知直线l的斜率k一定存在，且k＞0，设直线l的方程为：y=kx+1，由

y=kx+1 x2 4 -y2=1

，得(

1

4

-k2)x2-2kx-2=0，设直线l与双曲线的左支交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由△＞0，x₁+x₂＜0，x₁•x₂＞0，能求出直线l的斜率的取值范围．

解答：解：双曲线

x2

4

-y²=1的虚轴的上端点为B（0，1），
∵过点B引直线l与双曲线的左支有两个不同的公共点，
∴直线l的斜率k一定存在，且k＞0，
设直线l的方程为：y=kx+1，
由

y=kx+1 x2 4 -y2=1

，得(

1

4

-k2)x2-2kx-2=0，
设直线l与双曲线的左支交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有

△=(-2k)2+8( 1 4 -k2)＞0 x1+x2= 2k 1 4 -k2 ＜0 x1•x2 = -2 1 4 -k2 ＞0

，
解得

1

2

＜k＜

2

2

．
故答案为：（

1

2

，

2

2

）．

点评：本题考查直线和双曲线的关系的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．