Question

18．存在函数f（x）满足，对于任意x∈R都有（　　）

• A． f（x²）=x
• B． f（x²+x）=x+3
• C． f（|log₂x|）=x²+x
• D． f（x²+2x）=|x+1|

Answer 1

分析 该题的意思是由四个选项中的等式哪一个能够确定出一个函数，举例说明A、B、C不正确；求出满足f（x²+2x）=|x+1|的函数解析式说明D正确．

解答 解：对于f（x²）=x，令x²=1，可得x=±1，不满足题意；
对于f（x²+x）=x+3，令x²+x=0，可得x=0或x=-1，此时x+3=3或2，不满足题意；
对于f（|log₂x|）=x²+x，令|log₂x|=1，得x=2或$\frac{1}{2}$，此时x²+x=6或$\frac{3}{4}$，不满足题意；
由f（x²+2x）=|x+1|=$\sqrt{（x+1）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2x+1}$，令t=x²+2x（t≥-1），则f（t）=$\sqrt{t+1}$，
即f（x）=$\sqrt{x+1}$（x≥-1），满足题意．
故选：D．

点评 本题考查函数解析式的求解及常用方法，关键是对题意的理解，是中档题．