Question

9．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²-2x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并作出简图
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-3，3]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对函数求导，根据导函数求其零点，判断其单调性．找到极值点和极值，作图．
（Ⅱ）根据（1）中的单调性，考查x=-3，和x=3的值与极值比较，即可得到值域．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²-2x-1，定义域为R．
则：f′（x）=x²+x-2
令f′（x）=0，即x²+x-2=0，
解得：x₁=-2，x₁=1
∵x在（-∞，-2）和（1，+∞）时，f′（x）＞0；x在（-2，1）时，f′（x）＜0；
∴函数f（x）当x在（-∞，-2）和（1，+∞）是单调增函数．
函数f（x）当x在（-2，1）时，是单调减函数．
故x=-2时，函数f（x）取得极大值为$\frac{7}{3}$；
故x=1时，函数f（x）取得极小值为$-\frac{5}{3}$；

（Ⅱ）有（Ⅰ）可知，函数f（x）在区间[-3，-2]和[1，3]上是增函数，
在区间[-2，1]是单调减函数．
当x=-3时，函数f（x）的值为：$\frac{1}{2}$．
当x=3时，函数f（x）的值为：$\frac{13}{2}$．
所以：函数f（x）在区间[-3，3]上的值域为[$-\frac{5}{3}$，$\frac{13}{2}$]

点评 本题考查了利用导数函数求单调性和极值画图形的问题．利用导数函数求值域的方法．属于中档题．