Question

【题目】已知函数f（x）=ex-m（x+1）+1（m∈R）．

（1）若函数f（x）的极小值为1，求实数m的值；

（2）当x≥0时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）m=1；（2）（-∞，2]

【解析】

（1）求得，分类讨论求得函数的单调性，即可求解函数的极值；

（2）令，求得，令，得，再，利用导数得到的单调性与最值，即可求解．

（1）由题意，函数，则，

①若m≤0，则f'（x）＞0，∴f（x）在（-∞，+∞）单调递增，所以f（x）无极值，

②若m＞0，当x＞lnm时，f'（x）＞0，

当x＜lnm时，f'（x）＜0，f（x）在（-∞，lnm）单调递减，在（lnm，+∞）单调递增，

所以f（x）的极小值为f（lnm），由m-m（lnm+1）+1=1，解得m=1．

（2）令（x≥0），，

令，，

令，

显然p（x）在[0，+∞）单调递增，∴p（x）p（0）=2-m．

①当m2时，p（x）0，∴h'（x）0，∴h（x）在[0，+∞）单调递增，

∴，即g'（x）0，∴g（x）在[0，+∞）单调递增，

所以g（x）g（0）=2-m0，此时符合题意；

②当m2时，p（0）＜0，∴x0∈（0，+∞），使p（x0）=0，

故p（x）在（0，x0）恒为负值，h（x）在（0，x0）单调递减，此时，

所以g（x）在（0，x0）单调递减，所以g（x）g（0）=2-m0，此时不符合题意，

故所求m的取值范围为（-∞，2]．