题目内容
【题目】如图，
，
是离心率为
的椭圆的左、右顶点，
，
是该椭圆的左、右焦点，
，
是直线
上两个动点，连接
和
，它们分别与椭圆交于点
，
两点，且线段
恰好过椭圆的左焦点.当
时，点恰为线段的中点.
（1）求椭圆的方程；
（Ⅱ）判断以
为直径的圆与直线位置关系，并加以证明.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）以
为直径的圆始终与直线
相切
【解析】
（Ⅰ）由当
时，点
恰为线段
的中点，得到
，再由
，即可求出
，得到椭圆方程；
（Ⅱ）先由题意可知直线不可能平行于
轴，设的方程为：
，
、
，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理、弦长公式等，结合题中条件，即可得出结论.
解：（Ⅰ）
当时，点恰为线段的中点，
，又，联立解得：
，
，
，
椭圆的方程为.
（Ⅱ）由题意可知直线不可能平行于轴，
设的方程为：，、，
联立得： 
，
，
（*）
又设
，由
、、
三点共线得
，
同理可得
.
.
设中点为
，则坐标为
即
，
点到直线的距离
.
故以为直径的圆始终与直线相切.
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