Question

【题目】已知函数的极小值为1.

（1）求a的值；

（2）当时，对任意，有成立，求整数b的最大值。

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）2.

【解析】

（1）求导，根据的不同取值，进行分类讨论，根据极值，求出的值；

（2）由（1）可知，对函数进行求导，求出函数在的最大值，

即，比较的大小，作差，设新函数，求导，最后可求出的最大值为，对任意，有成立，只需.设函数，求导，最后求出整数b的最大值.

解：（1）函数的定义域为，.

①当时，，在上单调递增，

所以无极值；

②当时，由，得，

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增，

所以的极小值为，

解得.

（2）当时，，

由（1）知，当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增，

所以，

令，

所以时，，在上单调递增，

所以，故，

因此的最大值为，

而对任意，有成立，只需.

令，则，

所以，，在上单调递增.

由于，

又由于b为正数，所以.