Question

已知函数满足如下条件：当时，，且对任
意，都有.
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）求当，时，函数的解析式；
（3）是否存在，、、、、，使得等式
成立？若存在就求出（、、、、），若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）；（2）；（3）详见解析.

试题分析：（1）先求出与的值，利用点斜式求出相应的切线方程；（2）利用题中的条件结合迭
代法求出函数在区间上的解析式；（3）构造新函数，考
查函数在区间上的单调性，求出函数在区间上
的最小值，于是得到，然后利用分组求和法与错位相减法来证明
题中相应的等式.
（1）时，，，
所以，函数的图象在点处的切线方程为，即；
（2）因为，
所以，当，时，，

；
（3）考虑函数，，，
则，
当时，，单调递减；
当时，；
当时，，单调递增；
所以，当，时，，
当且仅当时，.
所以，，
而，
令，则，
两式相减得，
，
所以，，
故，
所以，，
当且仅当，、、、、时，
，
所以，存在唯一一组实数，、、、、，
使得等式成立.