题目内容
已知：经过点
的动圆与y轴交于M、N两点，C（-1，0），D（1，0）是x轴上两点，直线MC与ND相交于P．（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）直线GH交轨迹E于G、H两点，并且
（O是坐标原点），求点O到直线GH的距离．
【答案】分析：（1）利用消参法来求轨迹方程，先设点P的坐标，M，N的坐标，根据圆的对称性，经过点
的动圆圆心必在y轴上，可知MB⊥NB，在Rt△MNB中应用勾股定理，求出M，N点坐标之间的关系，再根据M，N点坐标，设出直线MC与
ND方程，联立，消去参数，即可得到点P的轨迹E的方程．
（2）设出直线GH方程，代入（1）中所求双曲线方程，化简，求x1+x2，x1x2，用含参数的式子表示，在根据
，化简直线GH方程，再用点到直线的距离公式点O到直线GH的距离．
解答：解：（1）设M（0，m），N（0，n），P（x，y）
则
两式相乘得：y2=-nm（x2-1）
连MB、NB，则MB⊥NB，在Rt△MNB中
知|OB|2=|OM||ON|
∴mn=-2∴y2=2（x2-1）
故P的轨迹方程为
（2）当直线GH与x轴垂直时，设G（x，y），则H（x，-y）
从而x2-y2=0
又∵
∴O到直线GH的距离为
．
当直线与x轴不垂直时，设其方程为y=kx+m
代入
并整理得：（2-k2）x2-2mkx-m2-2=0
设
…（*）
∵x1x2+y1y2=0，∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0
将（*）代入并整理和m2=2（1+k2）∴O到GH的距离
故O到GH的距离为
点评：本题主要考查了消参法求轨迹方程，以及直线与双曲线位置关系的判断及应用．
的动圆圆心必在y轴上，可知MB⊥NB，在Rt△MNB中应用勾股定理，求出M，N点坐标之间的关系，再根据M，N点坐标，设出直线MC与ND方程，联立，消去参数，即可得到点P的轨迹E的方程．
（2）设出直线GH方程，代入（1）中所求双曲线方程，化简，求x1+x2，x1x2，用含参数的式子表示，在根据
，化简直线GH方程，再用点到直线的距离公式点O到直线GH的距离．解答：解：（1）设M（0，m），N（0，n），P（x，y）
则
两式相乘得：y2=-nm（x2-1）
连MB、NB，则MB⊥NB，在Rt△MNB中
知|OB|2=|OM||ON|
∴mn=-2∴y2=2（x2-1）
故P的轨迹方程为
（2）当直线GH与x轴垂直时，设G（x，y），则H（x，-y）
从而x2-y2=0
又∵
∴O到直线GH的距离为．当直线与x轴不垂直时，设其方程为y=kx+m
代入
并整理得：（2-k2）x2-2mkx-m2-2=0设
…（*）∵x1x2+y1y2=0，∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0
将（*）代入并整理和m2=2（1+k2）∴O到GH的距离
故O到GH的距离为
点评：本题主要考查了消参法求轨迹方程，以及直线与双曲线位置关系的判断及应用．
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ND相交于P。
（O是坐标原点），求点O到直线GH的距离。[来源:学科网]