Question

已知圆C₁的圆心在直线l₁：x-y=0上，且圆C₁与直线x=1-2

2

相切于点A（1-2

2

，1），直线l₂：x+y-8=0．
（1）求圆C₁的方程；
（2）判断直线l₂与圆C₁的位置关系；
（3）已知半径为2

2

的动圆C₂经过点（1，1），当圆C₂与直线l₂相交时，求直线l₂被圆C₂截得弦长的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据圆C₁与直线x=1-2

2

相切于点A(1-2

2

，1)，可得圆心C₁在直线y=1上，利用圆心C₁在直线x-y=0上，可求圆心C₁的坐标，利用圆C₁与直线x=1-2

2

相切，可求圆C₁的半径，从而可得圆C₁的方程；
（2）利用圆心C₁到直线l₂的距离与半径的关系，可得直线l₂与圆C₁的位置关系；
（3）先确定圆C₂的圆心C₂（a，b）在圆C₁上，设直线l₂：x+y-8=0与圆C₂的交点分别为M，N，MN的中点为P，进而可知求直线l₂被圆C₂截得弦长MN的最大值即求C₂P的最小值，利用C₂P的最小值为d-|C₁C₂|，可求直线l₂被圆C₂截得弦长的最大值．

解答：解：（1）∵圆C₁与直线x=1-2

2

相切于点A(1-2

2

，1)，
∴圆心C₁在直线y=1上，…（1分）
又圆心C₁在直线x-y=0上，
∴圆心C₁为直线y=1和直线x-y=0的交点，即点（1，1）．…（2分）
∵圆C₁与直线x=1-2

2

相切，
∴圆C₁的半径等于点（1，1）到直线x=1-2

2

的距离，
即圆C₁的半径为|1-(1-2

2

)|=2

2

∴圆C₁的方程为（x-1）²+（y-1）²=8…（5分）
（2）∵圆心C₁到直线l₂的距离为d=

|1+1-8|

2

=3

2

＞2

2

…（7分）
∴直线l₂与圆C₁相离．…（8分）
（3）由已知，可设圆C₂的方程为（x-a）²+（y-b）²=8，
∵圆C₂经过点（1，1），
∴（1-a）²+（1-b）²=8，即（a-1）²+（b-1）²=8，
∴圆C₂的圆心C₂（a，b）在圆C₁上．…（10分）
设直线l₂：x+y-8=0与圆C₂的交点分别为M，N，MN的中点为P，
由圆的性质可得：|MN|2=4(8-|C2P|2)，
所以求直线l₂被圆C₂截得弦长MN的最大值即求C₂P的最小值．…（12分）
又因为C₁到直线l₂的距离为d=3

2

，
所以C₂P的最小值为d-|C1C2|=3

2

-2

2

=

2

，
所以(|MN|2)max=4[8-(

2

)2]=24，
即MNmax=2

6

，
故直线l₂被圆C₂截得弦长的最大值为2

6

．…（14分）

点评：本题以直线与圆相切为载体，考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查圆中的弦长问题，熟练运用圆心到直线的距离是解题的关键，综合性强．