Question

已知直角坐标平面内的动点M满足：|MA|²-|MB|²=4（|MB|-1），其中A（0，-1），B（0，1）．
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过N（-2，1）作两条直线交（Ⅰ）中轨迹C于P，Q，并且都与“以A为圆心，r为半径的动圆”相切，求证：直线PQ经过定点．

Answer 1

分析：（1）设M（x，y），由|MA|²-|MB|²=4（|MB|-1）可得方程，化简即可；
（2）设NQ、NP直线斜率分别为k₁，k₂，利用点斜式可写出直线NQ、NP的方程，根据NQ、NP与动圆A相切可得k₁k₂=1，分别联立直线与曲线方程可得Q、P坐标，由点斜式可写出直线PQ的方程，据方程形式即可求得所过定点．

解答：解：（1）设M（x，y），由|MA|²-|MB|²=4（|MB|-1），
得x²+（y+1）²-[x²+（y-1）²]=4（

x2+(y-1)2

-1），
化简得：x²=4y．
（2）设NQ、NP直线斜率分别为k₁，k₂，则直线NQ：y-1=k₁（x+2），即：k₁x-y+2k₁+1=0，
NP：y-1=k₂（x+2），即：k₂x-y+2k₂+1=0，
由NQ、NP与动圆A相切得：

2|k1+1|

k12+1

=

2|k2+1|

k22+1

，
化简得：（k₁-k₂）（k₁k₂-1）=0，
∵k₁≠k₂，∴k₁k₂=1，
联立

y=k1x+2k1+1 x2=4y

，解得Q（4k₁+2，(2k1+1)2），
同理：P（4k₂+2，(2k2+1)2），
∴k_PQ=

(2k2+1)2-(2k1+1)2

4(k2-k1)

=k₁+k₂+1，
∴PQ：y-(2k2+1)2=（k₁+k₂+1）[x-（4k₂+2）]，
化简得：y=（k₁+k₂+1）（x-2）-3，
所以直线PQ恒过定点（2，-3）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题、圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算能力，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，综合性较强，有一定难度．