Question

若定义在R上的函数f（x）、g（x）均为奇函数，设F（x）=af（x）+bg（x）+1．
（1）若F（-2）=10，求F（2）的值；
（2）若F（x）在（0，+∞）上有最大值4，求F（x）在（-∞，0）上的最小值．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若F（-2）=10，根据函数的 奇偶性建立方程关系即可求F（2）的值；
（2）若F（x）在（0，+∞）上有最大值4，构造函数F（x）-1为奇函数，根据奇函数的性质即可求F（x）在（-∞，0）上的最小值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）、g（x）均为奇函数，设F（x）=af（x）+bg（x）+1．
∴F（-2）=af（-2）+bg（-2）+1=-af（2）-bg（2）+1=10．
则af（2）+bg（2）=1-10=-9，
则F（2）=af（2）+bg（2）+1=-9+1=-8；
（2）∵F（x）=af（x）+bg（x）+1．
∴F（x）-1=af（x）+bg（x）为奇函数．
若F（x）在（0，+∞）上有最大值4，
即函数F（x）-1在（0，+∞）上有最大值为4-1=3，
则根据函数奇偶性的性质可知函数F（x）-1在（-∞，0）上有最小值为-3，
即F（x）在（-∞，0）上的最小值为-3+1=-2．

点评：本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质是解决本题的关键．