Question

5．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为3，则以A为球心，2$\sqrt{3}$为半径的球被正方体的各面所截得的弧长之和为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$π．

Answer 1

分析 球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．由空间几何知识能求出这两段弧的长度之和，从而求出球面与正方体的各个表面相交所得到的弧长之和．

解答 解：如图，球面与正方体的六个面都相交，
所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；
另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．
在面AA₁B₁B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为AE=2$\sqrt{3}$，AA₁=3，
则∠A₁AE=$\frac{π}{6}$．同理∠BAF=$\frac{π}{6}$，所以∠EAF=$\frac{π}{6}$，
故弧EF的长为：2$\sqrt{3}$×$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}π$，
而这样的弧共有三条．
在面BB₁C₁C上，交线为弧FG且在距球心为3的平面与球面相交所得的小圆上，
此时，小圆的圆心为B，半径为$\sqrt{3}$，∠FBG=$\frac{π}{2}$，
所以弧FG的长为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$π．
这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长为：3×$\frac{\sqrt{3}}{3}π$+3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$π=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$π．
故答案为：$\frac{5\sqrt{3}}{2}$π．

点评 本题主要考查了立体几何，以及弧长公式的运用，同时考查了空间想象能力，属于中档题．