题目内容

已知向量
a
=（1，sinx），
b
=（sin2x，cosx），函数f（x）=
a
•
b
，x∈[0，
π
2
]
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（a）=
3
4
，求sin2a的值．
（Ⅰ）由向量
a
=（1，sinx），
b
=（sin2x，cosx），
所以f(x)=
a
•
b
=sin2x+sinxcosx=
1-cos2x
2
+
sin2x
2
=
2
sin(2x-
π
4
)+1
2

因为x∈[0，
π
2
]，所以2x-
π
4
∈[-
π
4
，
3π
4
]，
当2x-
π
4
=-
π
4
，即x=0时，f（x）有最小值0；
（Ⅱ）由f(a)=
2
sin(2a-
π
4
)+1
2
=
3
4
，得sin(2a-
π
4
)=
2
4
  
∵a∈[0，
π
2
]，2a-
π
4
∈[-
π
4
，
3π
4
]，又0＜sin(2a-
π
4
)=
2
4
＜
2
2

∴2a-
π
4
∈(0，
π
4
)，得cos(2a-
π
4
)=
1-(
2
4
)2
=
14
4
．
∴sin2a=sin(2a-
π
4
+
π
4
)=
2
2
[sin(2a-
π
4
)+cos(2a-
π
4
)]
=
2
2
[
2
4
+
14
4
]=
1+
7
4
．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（sinωx，-cosωx），
b
=（
3
cosωx，cosωx）（ω＞0），函数f（x）=
a
．
b
+
1
2
，且函数f（x）=
3
sinωxcosωx-cos2ωx+
1
2
的图象中任意两相邻对称轴间的距离为π．
（1）求ω的值；
（2）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（C）=
1
2
，且c=2
19
，△ABC的面积S=2
3
，求a+b的值．
已知向量
a
=（2cos
x
2
，1），
b
=（cos
π+x
2
，3cosx），设函数f（x）=（
a
-
b
）•
a
．
（1）若?x∈R，f（x）≤a（a∈R），求a的取值范围；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且f（A）=4，a=
10
，求△ABC的面积S的最大值．
已知向量
a
=（2cos2x，
3
），
b
=（1，sin2x），函数f（x）=
a
•
b
．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=1且f（A）=3，求△ABC的面积S的最大值．
已知向量
a
=(
3
，-1)，
b
=(
1
2
，
3
2
)．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）是否存在最小的常数k，对于任意的正数s，t，使
x
=
a
+(t+2s)
b
与
y
=-k
a
+(
1
t
+
1
s
)
b
垂直？如果存在，求出k的最小值；如果不存在，请说明理由．
已知圆C：x2+y2=2，坐标原点为O．圆C上任意一点A在x轴上的射影为点B，已知向量
OQ
=t
OA
+(1-t)
OB
(t∈R，t≠0)．
（1）求动点Q的轨迹E的方程；
（2）当t=
2
2
时，过点S（0，-
1
3
）的动直线l交轨迹E于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过T点？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

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