题目内容

已知向量
a
=（2cos
x
2
，1），
b
=（cos
π+x
2
，3cosx），设函数f（x）=（
a
-
b
）•
a
．
（1）若?x∈R，f（x）≤a（a∈R），求a的取值范围；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且f（A）=4，a=
10
，求△ABC的面积S的最大值．
分析：（1）利用向量的数量积公式计算，再利用辅助角公式化简函数，可得函数的值域，从而可求a的取值范围；
（2）利用（1）的解析式及f（A）=4，求出A，根据a=
10
，可得b2+c2=10，利用基本不等式，可得ABC的面积S的最大值．
解答：解：（1）由题意，f（x）=（2cos
x
2
+sin
x
2
，1-3cosx）•（2cos
x
2
，1）=sinx-cosx+3=
2
sin（x-
π
4
）+3
∴f（x）≤
2
+3
∵?x∈R，f（x）≤a
∴a≥
2
+3，即a的取值范围为[
2
+3，+∞）；
（2）∵f（A）=4，∴
2
sin（A-
π
4
）+3=4，∴sin（A-
π
4
）=
2
2

∵A∈（0，π），∴A-
π
4
=
π
4
，∴A=
π
2

∵a=
10
，∴b2+c2=10
∴△ABC的面积S=
1
2
bc≤
1
2
×
1
2
（b2+c2）=
5
2
，当且仅当b=c=
5
时等号成立
∴△ABC的面积S的最大值为
5
2
．
点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（2cosx，cos2x），
b
=（sinx，1），令f（x）=
a
•
b
，
（I）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[
π
8
，
3π
8
]且f（x）=
2
2
，求cos2x的值．
已知向量
a
=（2cosx，2sinx），
b
=(cosx，-
3
cosx)，函数f（x）=
a
•
b
，g(x)=f(
π
6
x+
π
3
)+ax（a为常数）．
（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；
（2）若函数g（x）的图象关于y轴对称，求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3）已知对任意实数x1，x2，都有|cos
π
3
x1-cos
π
3
x2|≤
π
3
|x1-x2|成立，当且仅当x1=x2时取“=”．求证：当a＞
2π
3
时，函数g（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
已知向量
a
=（2cosx，sin2x），
b
=（2sinx，cos2x）（x∈R），且f（x）=|
a
|-|
b
|，则f（x）的最大值
1
1
．
已知向量
a
=（2cosx，2sinx），
b
=(cosx，-
3
cosx)，函数f（x）=
a
•
b
，g(x)=f(
π
6
x+
π
3
)+ax（a为常数）．
（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；
（2）若函数g（x）的图象关于y轴对称，求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3）已知对任意实数x1，x2，都有|cos
π
3
x1-cos
π
3
x2|≤
π
3
|x1-x2|成立，当且仅当x1=x2时取“=”．求证：当a＞
2π
3
时，函数g（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
已知向量
a
=（2cosx，cos2x），
b
=（sinx，1），令f（x）=
a
•
b
，
（I）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[
π
8
，
3π
8
]且f（x）=
2
2
，求cos2x的值．

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