题目内容
已知向量
=(
，-1)，
=(
，
)．
（1）求证：
⊥
；
（2）是否存在最小的常数k，对于任意的正数s，t，使
=
+(t+2s)
与
=-k
+(
+
)
垂直？如果存在，求出k的最小值；如果不存在，请说明理由．
| a |
| 3 |
| b |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
（1）求证：
| a |
| b |
（2）是否存在最小的常数k，对于任意的正数s，t，使
| x |
| a |
| b |
| y |
| a |
| 1 |
| t |
| 1 |
| s |
| b |
分析：（1）由向量
=(
，-1)，
=(
，
)，知
•
=
×
+(-1)×
=0，由此能证明
⊥
．
（2）存在最小的常数k，对于任意的正数s，t，使
=
+(t+2s)
与
=-k
+(
+
)
垂直．由
=
+(t+2s)
，
=-k
+(
+
)
，知
•
=[
+(t+2s)
]•[-k
+(
+
)
]=-4k+1+
+
+2=0，由此能求出k的最小值．
| a |
| 3 |
| b |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| a |
| b |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| a |
| b |
（2）存在最小的常数k，对于任意的正数s，t，使
| x |
| a |
| b |
| y |
| a |
| 1 |
| t |
| 1 |
| s |
| b |
| x |
| a |
| b |
| y |
| a |
| 1 |
| t |
| 1 |
| s |
| b |
| x |
| y |
| a |
| b |
| a |
| 1 |
| t |
| 1 |
| s |
| b |
| 2s |
| t |
| t |
| s |
解答：解：（1）∵向量
=(
，-1)，
=(
，
)，
∴
•
=
×
+(-1)×
=0，
∴
⊥
．
（2）存在最小的常数k，对于任意的正数s，t，使
=
+(t+2s)
与
=-k
+(
+
)
垂直．
∵向量
=(
，-1)，
=(
，
)，
∴
•
=0，
∵
=
+(t+2s)
，
=-k
+(
+
)
，
∴
•
=[
+(t+2s)
]•[-k
+(
+
)
]
=-k
2-k（t+2s）
•
+（
+
）
•
+（t+2s）（
+
）•
2
=-4k+1+
+
+2=0，
∴k=
≥
=
．
∴k的最小值是
．
| a |
| 3 |
| b |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴
| a |
| b |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴
| a |
| b |
（2）存在最小的常数k，对于任意的正数s，t，使
| x |
| a |
| b |
| y |
| a |
| 1 |
| t |
| 1 |
| s |
| b |
∵向量
| a |
| 3 |
| b |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴
| a |
| b |
∵
| x |
| a |
| b |
| y |
| a |
| 1 |
| t |
| 1 |
| s |
| b |
∴
| x |
| y |
| a |
| b |
| a |
| 1 |
| t |
| 1 |
| s |
| b |
=-k
| a |
| a |
| b |
| 1 |
| t |
| 1 |
| s |
| a |
| b |
| 1 |
| t |
| 1 |
| s |
| b |
=-4k+1+
| 2s |
| t |
| t |
| s |
∴k=
3+
| ||||
| 4 |
≥
3+2
| ||||||
| 4 |
=
3+2
| ||
| 4 |
∴k的最小值是
3+2
| ||
| 4 |
点评：本题考查平面向量垂直的证明和两向量垂直时最小的k的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
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已知向量
=(
，1)，
=(-1，0)，则向量
与
的夹角为（ ）
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|