题目内容

17．在斜三角形△ABC中，A=45°，H是△ABC的垂心，λ$\overrightarrow{AH}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{tanC}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{tanB}$，则λ=1．

分析 H是△ABC的垂心，可得$\overrightarrow{HA}$tanA+$\overrightarrow{HB}$tanB+$\overrightarrow{HC}$tanC=$\overrightarrow{0}$．再利用向量的三角形法则、正切和差公式即可得出．

解答 解：∵H是△ABC的垂心，则$\overrightarrow{HA}$tanA+$\overrightarrow{HB}$tanB+$\overrightarrow{HC}$tanC=$\overrightarrow{0}$．
∴$\overrightarrow{AH}$=$\frac{tanB}{tanA+tanB+tanC}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{tanC}{tanA+tanB+tanC}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\frac{（tanA+tanB+tanC）}{tanBtanC}$$\overrightarrow{AH}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{tanC}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{tanB}$=λ$\overrightarrow{AH}$，
则λ=$\frac{（tanA+tanB+tanC）}{tanBtanC}$=$\frac{tanA+tan（B+C）（1-tanBtanC）}{tanBtanC}$=$\frac{tanAtanBtanC}{tanBtanC}$=tanA=1，
故答案为：1．

点评 本题考查了三角形垂心的性质、向量的三角形法则、正切和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

练习册系列答案
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72=4+5+6+7+8+9+10
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…
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（Ⅰ）用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率；
（Ⅱ）若n=3，求3次摸球中恰有1次中奖的概率；
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附：
P（K2≥k0） 0.1000.0500.0250.0100.001
k02.706 3.8415.0246.63510.828
A．0.1%B．1%C．99%D．99.9%

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